整数分拆使乘积最大
POJ 1032 是一个数论问题:给定一个正整数 \(n \geq 5\),求一个整数数列 \(A = (a_1,a_2, \cdots, a_k)\),满足 \(\sum_i a_i = n\) 和 \(0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_k\),且 \(\prod_i a_i\)最大。
\(A\) 有以下性质:
1. \(a_1 > 1\),因为 \(1 \cdot a_i < 1 + a_i\)
2. \(a_1 \leq 3\),因为如果 \(a_1 > 3, a_1 \cdot a_2 < 2 \cdot (a_1 - 1) \cdot (a_2 - 1)\)
3. 项数尽可能多,因为 \(2 \leq a_p < a_q, a_p + a_q < a_p \cdot a_q\)