moiLaird Hexo https://moilaird.github.io/ All rights reserved 2026, moiLaird on Life and Learning Laird Notes 2026-05-08T00:22:43.985Z moiLaird POJ 1032 是一个数论问题：给定一个正整数 \(n \geq 5\)，求一个整数数列 \(A = (a_1,a_2, \cdots, a_k)\)，满足 \(\sum_i a_i = n\) 和 \(0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_k\)，且 \(\prod_i a_i\)最大。

\(A\) 有以下性质：
1. \(a_1 > 1\)，因为 \(1 \cdot a_i < 1 + a_i\)
2. \(a_1 \leq 3\)，因为如果 \(a_1 > 3, a_1 \cdot a_2 < 2 \cdot (a_1 - 1) \cdot (a_2 - 1)\)
3. 项数尽可能多，因为 \(2 \leq a_p < a_q, a_p + a_q < a_p \cdot a_q\)

猜想 \(A\) 的形式接近 \(T = (2, 3, \cdots, m)\)。
记 \(T(m) = \sum_{i=2}^m i = \frac{m(m+1)}{2} - 1\)，存在唯一的 \(m = \lfloor \frac{\sqrt{8n+9} - 1}{2} \rfloor\) 使得 \(T(m) \leq n < T(m+1)\)。设 \(n = T(m) + l, 0 \leq l \leq m\)。

用\(\{T\}\)表示数列\(T\)的各项组成的有序集合，即 \(\{T\} = \{2, 3, \cdots, m\}\)。
Maximum Product Over Partitions Into Distinct Parts 这篇论文证明了所求数列（用集合表示）为 \[\{A\} = \begin{cases}\{T\} & , & l = 0\\\{T\} - \{2\} + \{m+2\} & , & l = m\\\{T\} - \{m-l+1\} + \{m+1\} & , & 1 \leq l \leq m-1\end{cases}\] 数列长度为 \(m-1\)。即将 \(l\) 个1分别加到 \(T\) 的倒数 \(l\) 项，其中 \(l = m\) 时多出一个1加到最后一项。

C++代码实现如下。 

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#include <iostream>
#include <cmath>
#include <set>

int main() {
    int n, m, Tm, l;
    std::set<int> A;
    std::cin >> n;

    m = static_cast<int> ((sqrt(8 * n + 9) - 1) / 2.0);
    Tm = m * (m + 1) / 2 - 1;
    l = n - Tm;

    for (int i = 2; i <= m; ++i) {
        A.insert(i);
    }

    if (l > 0) {
        if (l == m) {
            A.erase(2);
            A.insert(m + 2);
        } else {
            A.erase(m - l + 1);
            A.insert(m + 1);
        }
    }

    for (auto el : A) {
        std::cout << el << ' ';
    }

    return 0;
}

Update

发现 ZOJ 2037 是同一题，不过输入包含多个 case。
ZOJ 支持 Python。我有点好奇 Python 比 C/C++ 慢多少，于是提交了以下代码。

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from math import sqrt
from sys import stdin, stdout


def part(n):
    m = int((sqrt(8 * n + 9) - 1) / 2)
    tm = m * (m + 1) // 2 - 1
    l = n - tm
    a = list(range(2, m + 1))
    if l > 0:
        if l == m:
            del a[0]
            a.append(m + 2)
        else:
            del a[m - l - 1]
            a.append(m + 1)
    return ' '.join(map(str, a))


data = map(int, stdin.read().split()[1:])
stdout.write('\n\n'.join(part(x) for x in data))

结果是 AC，Time 0 ms，Memory 144 KB。咦，排在 C 前面？
然而我再重复了几次，Time 都是 10 ms。看来不用太纠结那么多 0 ms 怎么来的～

相关问题

附件

]]> https://moilaird.github.io/2017/04/integer-partition/ 2017-04-11T17:35:47.000Z POJ 1032 是一个数论问题：给定一个正整数 \(n \geq 5\)，求一个整数数列 \(A = (a_1,a_2, \cdots, a_k)\)，满足 \(\sum_i a_i = n\) 和 \(0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_k\)，且 \(\prod_i a_i\)最大。

\(A\) 有以下性质：
1. \(a_1 > 1\)，因为 \(1 \cdot a_i < 1 + a_i\)
2. \(a_1 \leq 3\)，因为如果 \(a_1 > 3, a_1 \cdot a_2 < 2 \cdot (a_1 - 1) \cdot (a_2 - 1)\)
3. 项数尽可能多，因为 \(2 \leq a_p < a_q, a_p + a_q < a_p \cdot a_q\)

]]> 整数分拆使乘积最大 2026-05-08T00:22:43.985Z moiLaird 最近笔记本上的Ubuntu 16.04经常出现同一个bug：登录后桌面空空如也，没有Launcher，只显示一张壁纸，没法用～

解决办法很简单。按CTRL+ALT+F2（F1到F6都可以）打开一个虚拟终端，输入用户名和密码登录。然后输入以下命令：

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rm -rf ~/.compiz ~/.cache
sudo systemctl restart lightdm

重新登录后桌面恢复正常。

过去这个bug大概一年遇到一两次，最近频繁出现。不知是否和安装了搜狗输入法 for Linux有关。记得搜狗的某个版本会使得Ubuntu在注销时卡死。

今天刚看到3天前的新闻：Ubuntu宣布放弃Unity，明年回归GNOME桌面。真是个喜闻乐见的好消息。希望Ubuntu也能用上Wayland :-)

]]> https://moilaird.github.io/2017/04/ubuntu-blank-desktop/ 2017-04-08T15:47:01.000Z 最近笔记本上的Ubuntu 16.04经常出现同一个bug：登录后桌面空空如也，没有Launcher，只显示一张壁纸，没法用～

解决办法很简单。按CTRL+ALT+F2（F1到F6都可以）打开一个虚拟终端，输入用户名和密码登录。然后输入以下命令：

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rm -rf ~/.compiz ~/.cache
sudo systemctl restart lightdm
]]> Ubuntu登录后只显示壁纸的修复方法 2026-05-08T00:22:38.981Z moiLaird 有一次做PPT的时候需要插入一张简单的电路图。

我懒得为此在自己电脑上安装一款EDA软件（说的好像买得起license一样）。
盯着桌面图标发呆时隐约想起可以画分子结构式的LaTeX好像也可以画电路原理图。
Google搜索”latex circuit”，CircuiTikZ这个宏包占据了结果的第一页。
于是看了会ShareLaTeX上的教程，好像不是很难的样子，图的效果也挺顺眼，让我回忆起那些年用过的电路教材。决定就是她了。

大致浏览了一下manual，然后跳到Examples那节，照猫画虎，一会儿就画好啦。最终效果长这样。

Equivalent Circuit of RPI Poly-Si TFT Model

使用的LaTeX代码如下。

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\documentclass{standalone}
\usepackage[american,smartlabels]{circuitikz}
\begin{document}
    \begin{circuitikz}
        \draw (0,0) to [C=$C_{gs}$] (0,1.5) to [R=$R_{sx}$] (0,4) --
              (4,4) to [R=$R_{dx}$] (4,1.5) to [C=$C_{gd}$] (4,0);
        \draw (-3,0) node [anchor=east] {S} to [R, l_=$R_{s}$, o-*]
              (0,0) to [I<=$I_{ds}$, *-*] (4,0)
              to [R, l_=$R_{d}$, *-o] (7,0) node [anchor=west] {D};
        \draw (2,4) to [short, *-o] (2,5) node [anchor=south] {G};
    \end{circuitikz}
\end{document}

和TikZ的语法相似，用坐标描述点的位置，用导线连接电阻、电容、电流源等元件。
代码中的anchor用于标注外部连接。

用XeLaTeX编译得到PDF文件，然后用Inkscape转换成其他矢量图形格式比如SVG或EMF。
好消息是Office 2016支持插入SVG 图像了。

]]> https://moilaird.github.io/2017/04/circuitikz/ 2017-04-03T12:39:51.000Z 有一次做PPT的时候需要插入一张简单的电路图。

我懒得为此在自己电脑上安装一款EDA软件（说的好像买得起license一样）。
盯着桌面图标发呆时隐约想起可以画分子结构式的LaTeX好像也可以画电路原理图。
Google搜索”latex circuit”，CircuiTikZ这个宏包占据了结果的第一页。
于是看了会ShareLaTeX上的教程，好像不是很难的样子，图的效果也挺顺眼，让我回忆起那些年用过的电路教材。决定就是她了。

大致浏览了一下manual，然后跳到Examples那节，照猫画虎，一会儿就画好啦。最终效果长这样。

Equivalent Circuit of RPI Poly-Si TFT Model
]]> LaTeX画电路图之CircuiTikZ 2026-05-08T00:22:47.789Z moiLaird 求以下级数的和：

\[S_n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(2n+1)!!}\]

解：考虑积分

\[\int_{0}^{1} (1 - x^2)^n d x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} t d t = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\]

通项

\[\frac{n!}{(2n+1)!!} = \frac{1}{2^n} \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} = \frac{1}{2^n} \int_{0}^{1} (1 - x^2)^n d x = \int_{0}^{1} (\frac{1 - x^2}{2})^n d x\]

交换求和与积分的顺序得

\[\begin{align*} S_n &= \sum_{n=0}^{\infty} \left\{ \int_{0}^{1} (\frac{1 - x^2}{2})^n d x \right\} = \int_{0}^{1} \left\{ \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1 - x^2}{2})^n \right\} d x \\ &= \int_{0}^{1} \frac{2}{1 + x^2} d x = \frac{\pi}{2}\end{align*}\]

另解：利用莱布尼茨级数的欧拉变换可得

\[\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(2n+1)!!}\]

]]> https://moilaird.github.io/2017/04/pi-series/ 2017-04-01T06:15:16.000Z 求以下级数的和：

\[ S_n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(2n+1)!!} \]

]]> Pi 的一种级数表示 2026-05-08T00:22:33.561Z moiLaird 上周去面试了某电商的数据分析师职位。
面试前几天临时抱佛脚看完了3年前买的《SQL必知必会》。不过最后还是跪在了2道SQL题目上。
Google之后发现2道题分别代表一类常见的查询。都是套路啊～

问题描述：以AMD和Intel近5年的Revenue数据为例。首先创建表和插入数据。 

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-- MySQL, PostgreSQL, SQL Server
CREATE TABLE financials (
    company_name VARCHAR(10) NOT NULL,
    fiscal_year SMALLINT NOT NULL,
    revenue DECIMAL(10,2) NOT NULL
);
INSERT INTO financials (company_name, fiscal_year, revenue) VALUES
    ('AMD', 2012, 5.42),
    ('AMD', 2013, 5.30),
    ('AMD', 2014, 5.51),
    ('AMD', 2015, 3.99),
    ('AMD', 2016, 4.27),
    ('Intel', 2012, 53.34),
    ('Intel', 2013, 52.71),
    ('Intel', 2014, 55.87),
    ('Intel', 2015, 55.36),
    ('Intel', 2016, 59.39);

Q1: 将原始的表转换成如下形式。

Company20122013201420152016
AMD5.425.35.513.994.27
Intel53.352.755.955.459.4

A1: 这是行转列，或者说创建透视表(pivot table) / 列联表(cross tabulation)的操作。
标准SQL可以用CASE语句来实现。MySQL的IF和Oracle的DECODE可以代替CASE。 

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-- MySQL, PostgreSQL, SQL Server, Oracle
SELECT
    company_name AS Company,
    SUM(CASE WHEN fiscal_year = 2012 THEN revenue END) AS "2012",
    SUM(CASE WHEN fiscal_year = 2013 THEN revenue END) AS "2013",
    SUM(CASE WHEN fiscal_year = 2014 THEN revenue END) AS "2014",
    SUM(CASE WHEN fiscal_year = 2015 THEN revenue END) AS "2015",
    SUM(CASE WHEN fiscal_year = 2016 THEN revenue END) AS "2016"
FROM financials
GROUP BY company_name;

SQL Server提供了PIVOT操作符来简化一串SELECT...CASE语句。Oracle也支持PIVOT。 

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-- SQL Server
SELECT
    company_name AS Company,
    [2012], [2013], [2014], [2015], [2016]
FROM financials
PIVOT
(
    SUM(revenue) FOR fiscal_year IN ([2012], [2013], [2014], [2015], [2016])
) AS PivotTable
ORDER BY company_name;

PostgreSQL的tablefunc模块提供了类似功能的crosstab函数。 

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CREATE extension tablefunc;
SELECT *
FROM crosstab('SELECT company_name, fiscal_year, revenue FROM financials ORDER BY 1,2')
     AS ct(Company VARCHAR, "2012" DECIMAL, "2013" DECIMAL, "2014" DECIMAL, "2015" DECIMAL, "2016" DECIMAL)

Q2: 列出每家公司Revenue第二多的年份。

A2: 最简单的方法是使用窗口函数。
PostgreSQL, SQL Server, Oracle支持ROW_NUMBER函数，MySQL不支持。 

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-- PostgreSQL, SQL Server
SELECT company_name, fiscal_year, revenue
FROM   (SELECT *,
               ROW_NUMBER() OVER (PARTITION BY company_name ORDER BY revenue DESC) AS row_num
        FROM financials ) AS ranked
WHERE row_num = 2;

MySQL可以使用变量来实现分组排序。 

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SELECT company_name, fiscal_year, revenue
FROM   (SELECT *,
               @rank := IF(@company = company_name, @rank + 1, 1) AS row_num,
               @company := company_name
        FROM   financials
        ORDER  BY company_name, revenue DESC) AS ranked
WHERE  row_num = 2;

P.S.

  • 《SQL必知必会》的内容很基础，没有CASE语句、PIVOT、窗口函数等。 后来在书城看到《SQL基础教程》，觉得更适合入门。
  • 发现MySQL相比其他关系数据库缺少一些有用的特性。
]]> https://moilaird.github.io/2017/03/sql-interview/ 2017-03-30T06:15:16.000Z 上周去面试了某电商的数据分析师职位。
面试前几天临时抱佛脚看完了3年前买的《SQL必知必会》。不过最后还是跪在了2道SQL题目上。
Google之后发现2道题分别代表一类常见的查询。都是套路啊～

问题描述：以AMD和Intel近5年的Revenue数据为例。首先创建表和插入数据。 

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-- MySQL, PostgreSQL, SQL Server
CREATE TABLE financials (
    company_name VARCHAR(10) NOT NULL,
    fiscal_year SMALLINT NOT NULL,
    revenue DECIMAL(10,2) NOT NULL
);
INSERT INTO financials (company_name, fiscal_year, revenue) VALUES
    ('AMD', 2012, 5.42),
    ('AMD', 2013, 5.30),
    ('AMD', 2014, 5.51),
    ('AMD', 2015, 3.99),
    ('AMD', 2016, 4.27),
    ('Intel', 2012, 53.34),
    ('Intel', 2013, 52.71),
    ('Intel', 2014, 55.87),
    ('Intel', 2015, 55.36),
    ('Intel', 2016, 59.39);

]]> SQL面试题 2026-05-08T00:22:19.307Z